Геометрия показывает, как мир состоит из кубов
Джошуа Сокол
Наука
Упражнения в чистой математике привели к обширной теории, которая объединяет Платона с геофизикой.
Платон был прав: в среднем мир состоит из кубов. [Нажмите и перетащите изображение, чтобы повернуть его; прокрутите, чтобы увеличить или уменьшить масштаб.]
Мягким осенним днем 2016 года венгерский математик Габор Домокош прибыл на порог дома геофизика Дугласа Джеролмака в Филадельфии. Домокос привез с собой свои чемоданы, сильную простуду и жгучую тайну.
Двое мужчин шли по усыпанной гравием площадке за домом, где жена Джеролмака водила тележку с тако. Их ноги хрустели по дробленому известняку. Домокос указал вниз.
«Сколько граней у каждого из этих кусочков гравия?» он сказал.
Сначала Джеролмак возражал. Дома можно строить из кирпичей, но Земля состоит из камней. Понятно, что камни разные. Слюда расслаивается на листы; кристаллы растрескиваются по резко очерченным осям. Но только с точки зрения математики, утверждал Домокос, любые камни, которые разбиваются случайным образом, разбиваются на формы, имеющие в среднем шесть граней и восемь вершин. Если рассматривать их вместе, то все они будут теневыми приближениями, сходящимися в своего рода идеальном кубе. По его словам, Домокос доказал это математически. Теперь ему понадобилась помощь Джеролмака, чтобы показать, что это то, что делает природа.
«Это была геометрия с точным предсказанием, которое подтвердилось в естественном мире, практически без участия физики», — сказал Джеролмак, профессор Пенсильванского университета.
«Как, черт возьми, природа позволяет этому случиться?»
В течение следующих нескольких лет пара преследовала свое геометрическое видение от микроскопических фрагментов до обнажений горных пород, поверхностей планет и даже до Тимея Платона, наполняя проект дополнительным ореолом мистицизма. Греческий философ-основоположник, писавший около 360 г. до н. э., сопоставил свои пять Платоновых тел с пятью предполагаемыми элементами: землей, воздухом, огнем, водой и звездным веществом. С предусмотрительностью или удачей, или понемногу того и другого, Платон соединил кубы, наиболее подходящую форму, с землей. «Я подумал: «О, хорошо, теперь мы немного метафизичны», — сказал Джеролмак.
Габор Домокос (слева) и Дуглас Джеролмак ранее совместно работали над проектом, охватывающим математику и геофизику. Предоставлено Габором Домокосом; Eric Sucar/University of Pennsylvania
Most Popular
Но они продолжали находить прямоугольные средние значения в природе, а также несколько других теорий, которые можно было объяснить с помощью кубов.
В итоге они пришли к новой математической структуре: описательный язык, чтобы выразить, как все разваливается. Когда их статья была опубликована в начале этого года, она озаглавилась как особенно эзотерический роман о Гарри Поттере: «Куб Платона и естественная геометрия фрагментации».
Несколько геофизиков, с которыми связалась компания Quanta, говорят, что та же самая математическая модель может также помочь в решении таких проблем, как понимание эрозии растрескавшихся скал или предотвращение опасных оползней. «Это очень, очень интересно», — сказал геоморфолог из Эдинбургского университета Микаэль Аттал, один из двух ученых, рецензировавших статью перед публикацией. Другой рецензент, геофизик из Вандербильта Дэвид Фербиш, сказал: «Такая статья заставляет меня задуматься: могу ли я как-то использовать эти идеи?»
Все возможные перерывы
Задолго до приезда в Филадельфию у Домокоса были более безобидные математические вопросы.
Предположим, вы разбиваете что-то на множество частей.
Теперь у вас есть мозаика: набор фигур, которые можно сложить вместе без наложений и пробелов, как пол древнеримской бани. Далее предположим, что все эти формы выпуклые, без углублений.
Сначала Домокос хотел проверить, может ли геометрия сама по себе предсказать, какие формы в среднем составят такую мозаику. Затем он захотел иметь возможность описать все другие возможные наборы форм, которые можно найти.
В двух измерениях вы можете попробовать это, ничего не разбивая. Возьмите лист бумаги. Сделайте случайный фрагмент, который разделит страницу на две части. Затем сделайте еще один случайный срез каждого из этих двух полигонов. Повторите этот случайный процесс еще несколько раз. Затем подсчитайте и усредните количество вершин на всех кусочках бумаги.
Для студента, изучающего геометрию, предсказать ответ не так уж сложно. «Ставлю на ящик пива, что смогу вывести эту формулу за два часа», — сказал Домокос. Кусочки должны иметь в среднем четыре вершины и четыре стороны, усредняясь до прямоугольника.
Эту же задачу можно рассмотреть и в трех измерениях. Около 50 лет назад российский физик-ядерщик, диссидент, лауреат Нобелевской премии мира Андрей Дмитриевич Сахаров задал ту же задачу, шинкуя кочаны вместе с женой. Сколько вершин в среднем должно быть у кусочков капусты? Сахаров передал задачу легендарному советскому математику Владимиру Игоревичу Арнольду и студенту. Но их попытки решить эту проблему были неполными и в значительной степени были забыты.
Валуны Моераки в Новой Зеландии. Фото: Даниэль Линерт
Самые популярные
Unaware, которые указали ответы на эти работы. Однако он хотел перепроверить и подозревал, что если ответ на ту же проблему уже существует, то он будет заперт в непостижимом томе немецкими математиками Вольфгангом Вайлем и Рольфом Шнайдером, 80-летним титаном в области геометрии. Домокос — профессиональный математик, но даже он нашел текст пугающим.
«Я нашел кое-кого, кто согласился прочитать эту часть книги для меня и перевести на человеческий язык», — сказал Домокос. Он нашел теорему для любого числа измерений. Это подтвердило, что кубы действительно являются трехмерным ответом.
Теперь у Домоко были средние формы, полученные путем расщепления плоской поверхности или трехмерного блока. Но затем появился более крупный квест. Домокос понял, что он может также разработать математическое описание не только средних значений, но и потенциальных возможностей: какие наборы форм даже математически возможны, когда что-то разваливается?
Помните, формы, которые появляются после того, как что-то разваливается, представляют собой мозаику. Они подходят друг к другу без нахлеста или зазоров. Например, эти разрезанные прямоугольники можно легко сложить вместе, чтобы заполнить мозаику в двух измерениях. То же самое можно сказать и о шестиугольниках в идеализированном случае того, что математики назвали бы узором Вороного.
Иллюстрация: Samuel Velasco/Quanta Magazine; На основе графики с сайта doi.org/10.1073/pnas.2001037117; NASA
Чтобы правильно классифицировать мозаики, Домокос начал описывать их двумя числами. Первый — это среднее количество вершин на ячейку. Второе — это среднее количество различных ячеек, разделяющих каждую вершину. Так, например, в мозаике из шестиугольной плитки для ванной каждая ячейка представляет собой шестиугольник с шестью вершинами. И каждая вершина разделена на три шестиугольника.
В мозаике работают только определенные комбинации этих двух параметров, образуя узкий ряд форм, которые могут возникнуть в результате чего-то разваливающегося.
Самые популярные
Опять же, эту полную полосу было довольно легко найти в двух измерениях, но гораздо сложнее в трех. Кубы, конечно, хорошо сочетаются друг с другом в 3D, но то же самое можно сказать и о других комбинациях форм, включая те, которые образуют 3D-версию паттерна Вороного.
Иллюстрация: Samuel Velasco/Quanta Magazine; Основано на графике с doi.org/10.1073/pnas.2001037117
«Я спросил его, хочет ли он, чтобы я объяснил, как я пришел к этой гипотезе, но он заверил меня, что знает», — сказал Домокос, смеясь. «Это значило в сто раз больше, чем быть принятым в любой журнал».
Что еще более важно, у Domokos теперь была структура. Математика предложила способ классифицировать все закономерности, по которым могут разбиваться поверхности и блоки. Геометрия также предсказывала, что если произвольно фрагментировать плоскую поверхность, она разобьется на грубые прямоугольники, а если сделать то же самое в трех измерениях, то получатся грубые кубы.
Но чтобы все это имело значение для кого-либо, кроме нескольких математиков, Домокос должен был доказать, что те же самые правила проявляются в реальном мире.
От геометрии к геологии
К тому времени, как Домокос проехал через Филадельфию в 2016 году, он уже добился определенного прогресса в решении реальной проблемы. Он и его коллеги из Будапештского университета технологии и экономики собрали осколки доломита, образовавшиеся в результате эрозии со скалы на горе Хармашатархедь в Будапеште. В течение нескольких дней лаборант без каких-либо предположений о всеобщем заговоре против кубов кропотливо считал грани и вершины на сотнях крупинок. В среднем? Шесть граней, восемь вершин. Работая с Яношем Тёроком, специалистом по компьютерному моделированию, и Ференцем Куном, экспертом по физике фрагментации, Домокос обнаружил, что средние кубовидные значения проявляются и в таких типах горных пород, как гипс и известняк.
С помощью математики и первых вещественных доказательств Домокос представил свою идею ошеломленному Джеролмаку.
«Каким-то образом он произнес заклинание, и все остальное на мгновение исчезло», — сказал Джеролмак.
Самые популярные
Их союз был знакомым. Несколько лет назад компания Domokos завоевала известность, доказав существование Gömböc, любопытной трехмерной формы, которая поворачивается в вертикальное положение для отдыха независимо от того, как вы на нее нажимаете. Чтобы узнать, существуют ли Гёмбоки в естественном мире, он нанял Джеролмака, который помог применить эту концепцию для объяснения округления гальки на Земле и Марсе. Теперь Домокос снова просил помощи в воплощении высоких математических понятий в буквальный камень.
Гёмбок представляет собой выпуклую трехмерную форму с одинаковой плотностью, имеющую единственную устойчивую точку равновесия. Фотография: Домокос
Двое мужчин разработали новый план. Чтобы доказать, что кубы Платона действительно существуют в природе, им нужно было показать нечто большее, чем просто совпадение между геометрией и несколькими горстками камней.
Им нужно было рассмотреть все горные породы, а затем набросать убедительную теорию того, как абстрактная математика может проникнуть сквозь запутанную геофизику в еще более запутанную реальность.
Сначала «казалось, что все работает», сказал Джеролмак. Математика Домокоса предсказывала, что осколки камня должны в среднем превращаться в кубы. Все большее число настоящих осколков камня, казалось, были рады подчиниться. Но Джеролмак вскоре понял, что для доказательства теории также потребуется противостоять случаям нарушения правил.
В конце концов, та же самая геометрия предлагала словарь для описания многих других мозаичных узоров, которые могли существовать как в двух, так и в трех измерениях. Внезапно Джеролмак мог представить себе несколько расколотых скал реального мира, которые вовсе не выглядели как прямоугольники или кубы, но все же могли быть классифицированы в этом более крупном пространстве.
Возможно, эти примеры полностью опровергнут теорию кубического мира.
Более многообещающе, возможно, они возникли бы только при определенных обстоятельствах и несли бы отдельные уроки для геологов. «Я сказал, что знаю, что это работает не везде, и мне нужно знать, почему», — сказал Джеролмак.
В течение следующих нескольких лет, работая по обе стороны Атлантики, Джеролмак и остальная часть команды начали наносить на карту места, где реальные образцы разбитых скал попадали в рамки Домокоса. Когда команда исследовала поверхностные системы, которые по существу являются двухмерными — трещины вечной мерзлоты на Аляске, обнажение доломита и открытые трещины гранитной глыбы — они обнаружили многоугольники, усредняющие четыре стороны и четыре вершины, точно так же, как нарезанный лист бумаги. . Казалось, что в каждом из этих геологических случаев горные породы просто треснули. Здесь предсказания Домокоса сбылись.
Иллюстрация: Сэмюэл Веласко/Журнал Quanta; На основе графики с сайта doi.org/10.1073/pnas.2001037117; точечные изображения: Линди Бакли; Мэтью Л.
Дракенмиллер; Ханнес Гробе; Предоставлено János Török
Самый популярный
Тем временем другой тип расколотой плиты, как оказалось, имел свою особую историю: Джеролмак надеялся рассказать свою историю. Илистые отмели, которые высыхают, трескаются, промокают, заживают и затем снова трескаются, имеют ячейки, в среднем имеющие шесть сторон и шесть вершин, в соответствии с примерно шестиугольным рисунком Вороного. Камень, сделанный из остывающей лавы, которая затвердевает вниз от поверхности, может иметь аналогичный вид.
Характерно, что эти системы имели тенденцию формироваться под другим типом напряжения — когда силы тянули наружу скалу, а не толкали ее внутрь. Геометрия выявила геологию. И Джеролмак и Домокос считали, что этот паттерн Вороного, даже если он встречается относительно редко, может также встречаться в гораздо больших масштабах, чем они считали ранее.
Диаграмма Вороного делит плоскость на отдельные области или ячейки, так что каждая ячейка состоит из всех точек, ближайших к исходной «исходной» точке.
Иллюстрация: Фред Шармен
Подсчет корки
В середине проекта команда встретилась в Будапеште и провела три бурных дня, пытаясь включить больше естественных примеров. Вскоре Джеролмак вывел на своем компьютере новую схему: мозаику того, как тектонические плиты Земли соединяются друг с другом. Плиты ограничены литосферой, почти двухмерной оболочкой на поверхности планеты. Рисунок показался знакомым, и Джеролмак позвал остальных. «Мы были такие, о, ничего себе», — сказал он.
На глаз пластины выглядели так, как будто они выточены по схеме Вороного, а не по прямоугольной. Затем команда засчитала. В идеальной мозаике Вороного из шестиугольников на плоской плоскости каждая ячейка будет иметь шесть вершин. Фактические тектонические плиты в среднем составляли 5,77 вершины.
Для геофизика это было достаточно близко, чтобы праздновать. Для математика не очень. «У Дуга было хорошее настроение. Он работал как черт», — сказал Домокос. «У меня было подавленное настроение на следующий день, потому что я просто думал о разрыве».
Домокос пошел домой на ночь, разница все еще грызла его. Он снова записал числа. А потом до него дошло. Мозаика из шестиугольников может замостить плоскость. Но Земля не плоская, по крайней мере, за пределами некоторых уголков YouTube. Представьте себе футбольный мяч, покрытый как шестиугольниками, так и пятиугольниками. Домокос подсчитал числа для поверхности сферы и обнаружил, что на глобусе ячейки мозаики Вороного должны иметь в среднем 5,77 вершин.
Самые популярные
Это понимание может помочь исследователям ответить на главный открытый вопрос геофизики: как образовались тектонические плиты Земли? Одна из идей гласит, что плиты — это просто побочный продукт бурлящих конвекционных ячеек глубоко в мантии. Но противоположный лагерь считает, что земная кора — это отдельная система, которая расширялась, становилась хрупкой и трескалась. По словам Джеролмака, наблюдаемая структура плит Вороного, напоминающая илистые отмели гораздо меньшего размера, может поддержать второй аргумент.
«Это также то, что заставило меня осознать, насколько важным был этот документ», — сказал Аттал. «Это действительно феноменально».
Разоблачающий прорыв
Тем временем в трех измерениях исключения из правила прямоугольной формы были достаточно редки. И их тоже можно было бы получить, моделируя необычные, тянущие наружу силы. Одно отчетливо некубическое скальное образование находится на побережье Северной Ирландии, где волны бьются о десятки тысяч базальтовых колонн. По-ирландски это Clochán na bhFomhórach, ступени расы сверхъестественных существ; английское название — Дорога Гигантов.
Важно отметить, что эти колонны и другие подобные вулканические образования имеют шесть сторон. Но симуляции Торёка создали мозаику, похожую на Мостовую Гигантов, в виде трехмерных структур, которые просто выросли из двумерного основания Вороного, которое само образовалось при остывании вулканической породы.
Дорога великанов в Северной Ирландии. Предоставлено Тайлером Донахи
Команда утверждает, что при уменьшении масштаба можно классифицировать самые настоящие мозаики из трещиноватых пород, используя только платоновы прямоугольники, двухмерные узоры Вороного, а затем — в подавляющем большинстве случаев — платоновы кубы в трех измерениях.
. Каждый из этих паттернов может рассказать геологическую историю. И да, с соответствующими оговорками, вы действительно можете сказать, что мир состоит из кубиков.
«Они приложили все усилия, чтобы сверить смоделированные формы с реальностью», — сказала Марта-Кэри Эппс, геолог из Университета Северной Каролины в Шарлотте. «Мой первоначальный скептицизм рассеялся».
«Математика говорит нам, что когда мы начинаем дробить горные породы, как бы мы это ни делали, делаем ли мы это случайно или детерминировано, существует только определенный набор возможностей», — сказал Фербиш. — Насколько это умно?
Самые популярные
В частности, возможно, вы могли бы взять реальное поле с трещинами, подсчитать вершины и грани, а затем сделать вывод об ответственных геологических обстоятельствах.
«У нас есть места, где у нас есть данные, о которых мы можем думать таким образом», — сказал Роман ДиБиасе, геоморфолог из Университета штата Пенсильвания.
«Это был бы действительно классный результат, если бы вы могли различить вещи более тонкие, чем Дорога Гигантов, ударить молотком по камню и увидеть, как выглядят осколки».
Что касается Джеролмака, то, поначалу чувствуя себя некомфортно из-за возможной случайной связи с Платоном, он смирился с этим. В конце концов, греческий философ предположил, что идеальные геометрические формы занимают центральное место в понимании Вселенной, но всегда вне поля зрения, видимые только как искаженные тени.
«Это буквально самый прямой пример, который только можно придумать. Среднее статистическое значение всех этих наблюдений — это куб», — сказал Джеролмак.
«Но куба никогда не существует».
Оригинальная история, перепечатанная с разрешения Quanta Magazine, , редакционно-независимого издания Фонда Саймонса, чья миссия состоит в том, чтобы улучшить общественное понимание науки, освещая исследовательские разработки и тенденции в математике, физических науках и науках о жизни.
Другие интересные истории WIRED
- 📩 Хотите узнать последние новости о технологиях, науке и многом другом? Подпишитесь на нашу рассылку!
- Странная и запутанная история о гидроксихлорохине
- Как спастись с тонущего корабля (например, Титаник )
- Будущее McDonald’s за автомобильным транспортом
- Почему так важно, какое зарядное устройство вы используете на ваш телефон
- Последние результаты вакцинации против Covid, расшифровка
- 🎮 ПРОВОДНЫЕ игры: получайте последние советы, обзоры и многое другое
- 💻 Обновите свою рабочую игру с любимыми ноутбуками нашей команды Gear, клавиатурами, альтернативными вариантами набора текста и наушниками с шумоподавлением
Темы Журнал QuantaГеологиягеометрияматематикаНауки о Земле
Больше из WIREDСлучай Camion à vendre | Европа-Camions.com
14 363 annonces de porteurs d’occasion
À LA UNE
Sauvegarder la recherche
Gagnez du temps, enregistrez vos critères de recherche !
Я спасатель, могу найти
17
Новый
Camion frigo mono température Renault Gamme D WIDE
76 000 €
19т 4×2 Евро 6 Хайон 320 резюме 2019279 780 км
ФРАНЦИЯ — Тарн — Кастр
13
Camion polybenne DAF CF75 310
Цена по запросу
6×2
Евро 3
310 резюме
2005 г.
526 000 км
ФРАНЦИЯ — Эро — Безье
14
Плато Camion DAF CF85 380
25 000 €
26т 6х4 Гру 380 резюме 2003 г. 309166 км
ФРАНЦИЯ — Верхняя Гаронна — Ле Фуссере
6
Гидрокарбюраторы Camion Citern Volvo FE 320
25 000 €
6×2
Евро 4
320 резюме
2009 г.
330 000 км
ФРАНЦИЯ — Буш-дю-Рон: Ла-Рок-Д’Антерон
12
Camion beton toupie / Malaxeur MAN TGS 35.430
Приз по запросу
8×4 Евро 6 Нойф
ФРАНЦИЯ — Бас-Рин — Хагенау
12
Camion beton toupie / Malaxeur Mercedes Arocs 3240
Цена по запросу
Neuf
ФРАНЦИЯ — Бас-Рин — Хагенау
18
Camion bi-benne Renault Kerax 410
39 900 €
26т
6х4
Евро 4
2008 г.
360 712 км
ФРАНЦИЯ — Бас-Рин — Илькирх
16
Camion frigo мультитемпературный MAN TGA 18.320
17 500 €
19т 4×2 Евро 4 Хайон 320 резюме 2007 г. 450 000 км
ФРАНЦИЯ — Жиронда — Брюгге
5
Camion Fourgon Renault K-Series 430
Приз по запросу
6×2 Евро 6 Хайон 430 резюме 2015 140 000 км
ФРАНЦИЯ — Верхняя Марна — Дарманн
5
Камион Бенне Iveco Eurotrakker
Приз по требованию
19т
4×2
Евро 3
2002 г.
165 896 км
ФРАНЦИЯ — Восточные Пиренеи — Святой Фелиу Д’Аваль
4
Camion polybenne Renault Kerax 300
Цена по запросу
19т 4×2 Евро 2 300 баллов 1998 374 954 км
ФРАНЦИЯ — Восточные Пиренеи — Святой Фелиу Д’Аваль
4
Camion polybenne Renault C
Приз по требованию
26т 6×2 Евро 6 2022 5 000 км
ФРАНЦИЯ — Пюи-де-Дом: Пон-дю-Шато
14
Новый
Camion dépannage Renault Midlum 270
Цена по запросу
13т 4×2 Евро 5 270 резюме 2011 225 570 км
ФРАНЦИЯ — Кот-д’Ор — Фэн Ле Монбар
20
Новый
Camion polybenne Bremach MAM 4X4 +SALEUSE +LAME
42 000 €
3,5 т
4х4
Евро 4
2006 г.
12 290 км
ФРАНЦИЯ — Йонна — Пон-сюр-Ванн
Camion beton toupie / Malaxeur Renault C-Series 430
Приз по требованию
32т 8х4 Евро 6 2016 211 339 км
ФРАНЦИЯ — Пюи-де-Дом: Клермон-Ферран
Camion benne Enrochement Renault K-Series 480
Приз по требованию
32т 8х4 Евро 6 2015 240 000 км
ФРАНЦИЯ — Пюи-де-Дом: Клермон-Ферран
Плато Camion Ridells Renault Premium Lander 460 DXI
Приз по запросу
6×2 Евро 5 Гру 465 резюме 2013 242 132 км
ФРАНЦИЯ — Сарт — Ле-Ман
Camion polybenne Renault Premium Lander 410 DXI
Цена по запросу
26т 6х4 Евро 5 2011 516 232 км
ФРАНЦИЯ — Пюи-де-Дом: Клермон-Ферран
Camion Fourgon Iveco Eurocargo 120 E 18
Цена по запросу
12т Евро 5 Хайон 180 резюме 2013 273 000 км
ФРАНЦИЯ — Изер — Бокруассан
Camion bi-benne Renault Kerax 370
22 900 €
19т
4×2
2006 г.